Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为时，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】2或2 或4﹣2
【解析】解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，

则CM∥AE，DM=MF，

延长CM交AD于点G，

∴AG=GD=2，

∴CE=2，

∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；②DF=DC时，则DF=DC=AB=2 ，

∵DF⊥AE，AD=2，

∴∠DAE=45°，

则BE=2 ，

∴当BE=2 时，△CDF是等腰三角形；③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．

∵AB=2 ，BE=x，

∴AE= ，

AF= ，

∵△ADF∽△EAB，

∴ ，即 ，

解得：x=4﹣2 或x=4+2 （舍去）；

∴当BE=4﹣2 时，△CDF是等腰三角形．

综上，当BE=2或2 或4﹣2 时，△CDF是等腰三角形．

所以答案是：2或2 或4﹣2 ．

【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的判定和矩形的性质，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．