Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，且x1＜x2 ， 与y轴交于点C（0，﹣4），其中x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

∴A（﹣2，0），B（6，0），

又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），

将点C的坐标代入，求得 ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）

解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．

∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），

∴AB=8，AM=m+2，

∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

= ，

= ．

∴当m=2时，S△CMN有最大值4．

此时，点M的坐标为（2，0）；

（3）

解：∵点D（4，k）在抛物线 上，

∴当x=4时，k=﹣4，

∴点D的坐标是（4，﹣4）．

①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，

∵D（4，﹣4），∴DE=4．

∴F1（﹣6，0），F2（2，0），

②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），

∵点A的坐标为（﹣2，0），

则平行四边形的对称中心的横坐标为： ，

∴平行四边形的对称中心坐标为（ ，0），

∵D（4，﹣4），

∴E'的横坐标为： ﹣4+ =n﹣6，

E'的纵坐标为：4，

∴E'的坐标为（n﹣6，4）．

把E'（n﹣6，4）代入 ，得n2﹣16n+36=0．

解得 ． ， ，

综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 ，0），F4（8+2 ，0）．

【解析】（1）根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出 ，进而得出函数的最值；（3）分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．