Question

【题目】在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考： 请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图1，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于E，且AE=EF，求证：AC=BF． 请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：

（2）解决问题：如图2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FE、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，

在△BDF和△CDM中， ，

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC，

∴AC=MC，

∴BF=AC

（2）10 +8
【解析】（2）解：如图2，
∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四边形MFGN是平行四边形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG= BC=4，
∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小，
过点A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH= =5 ，
∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10 +8．
所以答案是：10 +8．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形中位线定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．