Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；

（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．

试题解析：（1）连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF==5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面积=AFOA=OFAE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE=，

∴AC=2AE=．