Question

【题目】已知射线AB∥射线CD，P为一动点，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE与CE相交于点E．
（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，∠APC=180°． ①直接写出∠AEC的度数；②求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD；
（2）当点P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC之间的关系，并加以说明；
（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出∠AEC与∠APC之间的关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AB∥CD，

∴∠PAB+∠PCD=180°，

∴∠AEC=90°；

②证明：在图1中，过E作EF∥AB，则∠AEF=∠EAB．

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠CEF=∠ECD．

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD．

（2）解：猜想：∠AEC= ∠APC，理由如下：

∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB= ∠PAB，∠ECD= ∠PCD．

由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD，

∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= （∠PAB+∠PCD）= ∠APC．

（3）解：在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°﹣ ∠APC，

其证明过程是：

过P作PQ∥AB，则∠PAB+∠APQ=180°．

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CPQ+∠PCD=180°．

∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC．

∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB= ∠PAB，∠ECD= ∠PCD．

由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，

∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= （∠PAB+∠PCD）= （360°﹣∠APC）=180°﹣ ∠APC．

【解析】（1）①由平行线的性质可得出∠PAB+∠PCD=180°，进而可得出∠AEC的度数； ②在图1中，过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，进而即可证出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD；（2）猜想：∠AEC= ∠APC，由角平分线的定义可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD，由（1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，进而即可得出∠AEC= （∠PAB+∠PCD）= ∠APC；（3）在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°﹣ ∠APC，过P作PQ∥AB，由平行线的性质可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，进而可得出∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC，再由角平分线的定义可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD，结合（1）的结论即可证出∠AEC=180°﹣ ∠APC．
【考点精析】掌握平行线的判定与性质是解答本题的根本，需要知道由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．