【题目】如图（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm．BC=a cm，AC=3cm，且a是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的根．

（1）求a和m的值；
（2）如图（2），有一个边长为 的等边三角形DEF从C出发，以1cm/s的速度沿CB方向移动，至△DEF全部进入与△ABC为止，设移动时间为xs，△DEF与△ABC重叠部分面积为y，试求出y与x的函数关系式并注明x的取值范围；

（3）试求出发后多久，点D在线段AB上？

参考答案：

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm．BC=a cm，AC=3cm，

根据勾股定理可得，BC=4cm，即a=4．

∵a是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的根

∴42﹣（m﹣1）×4+m+4=0的根，

∴m=8，


（2）

解：由（1）得a=4，则等边三角形DEF的边长为 =2（cm），

如图（1），

当0≤x≤1时，易知∠DFC=60°，

∵∠ACF=90°，

∴∠CGF=30°，

∴CG= CF= x

∴y=S△CGF= CFCG= x x= x2，

如图（2），

当1＜x≤2时，BE=2﹣x，HC= EC= （2﹣x），

∴S△HEC= ECHC= （2﹣x） （2﹣x）= （2﹣x）2，

∴y=S△DEF﹣S△HEC= ×22﹣ （2﹣x）2=﹣ x2+2 x﹣

综上，


（3）

解：如图（3），

若点D在线段AB上，

过点D作DM⊥BC于点M，此时DM∥AC，

∴△BDM∽△BAC

∴ 即 ，

∴DM=

又等边三角形DEF的边长2，

∴DM=

∴ ，

∴x=

即出发后 s时，点D在线段AB上．


【解析】（1）先利用勾股定理求出a，再用一元二次方程的解求出m；（2）分两种情况①利用三角形的面积公式，②利用三角形的面积差即可得出结论；（3）先判断出△BDM∽△BAC再用DM建立方程求解即可．
【考点精析】通过灵活运用三角形的面积和相似三角形的性质，掌握三角形的面积=1/2×底×高；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．

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