Question

【题目】如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）AB=DD1+EE1；（3）AB=DD1-EE1．

【解析】试题分析：（1）由四边形CADF、CBEG是正方形可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1；

（3）证明方法同（2），即可得到AB=DD1-EE1．

试题解析：（1）因为四边形CADF、CBEG是正方形，

所以AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

所以∠DAD1+∠CAB=90°，

因为DD1⊥AB，

所以∠DD1A=∠ABC=90°，

所以∠DAD1+∠ADD1=90°，

所以∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，

∠ADD1=∠CAB，∠DD1A=∠ABC ，AD=CA，

所以△ADD1≌△CAB，

所以DD1=AB；

（2）AB=DD1+EE1，理由如下：

过点C作CH⊥AB于H ，与（1）同理，△ADD1≌△CAH，所以DD1=AH，同理EE1=BH，所以AB=DD1+EE1；

（3）AB=DD1-EE1，理由如下：

过点C作CH⊥AB于H ，与（1）同理，△ADD1≌△CAH，所以DD1=AH，同理EE1=BH，所以AB=DD1-EE1．