Question

【题目】若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，

我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=．

（1）最大的四位“言唯一数”是　 　，最小的三位“言唯一数”是　 　；

（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；

（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．

Answer 1

【答案】(1)9991；221；（2）详见解析；（3）满足条件的所有的四位“言唯一数”为和

【解析】

根据题目给出的新定义，正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，称这样的数k为“言唯一数”，解答即可．

（1）最大的四位“言唯一数”是 9991 ，最小的三位“言唯一数”是 221 ；

（2）证明：设，则

都为正整数，则也是正整数

对于任意的四位“言唯一数”，能被整除．

（3） （，且，、均为整数）

.

则

仍然为言唯一数， 末尾数字为0，129末尾数字为9

则的末尾数字为2，

或

①当时，，

时，，此时

②当时，，

时，，此时

满足条件的所有的四位“言唯一数”为和