Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线 y 2x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点.

（1）求 A 、 B 两点的坐标；

（2）若点 M 为直线 y mx 上一点，且ABM 是等腰直角三角形，求 m 的值；

（3）过 A 点的直线 y kx 2k 交 y 轴负半轴于 P ，N 点的横坐标为1，过 N 点的直线于点 M ，试探究 PM 与 PN 之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当m>0时，m的值为1或或；当m<0时，m的值为：-或-2；（3）

【解析】

（1）根据直线 y 2x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，分别令y=0 ，x=0，求出即可；
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的值即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的值；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的值即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解:(1)y 2x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点
令y=0,则x=2; 令x=0,则y=4

(2) （i）当m＞0时，分三种情况：
①如图1，

当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，
，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6），
代入y=mx得：m= ，
②如图2，

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m= ，
③如图4，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是或或1；
（ii）当m＜0时，由（i）得：关于直线AB：y=-2x+4，
同理可得：m=-或-2；

(3)解:如图,

设NM与x轴的交点为H,过M作轴于G,过H作轴,HD交MP于D点,连接ND,
由与x轴交于H点,
,
由与交于M点,
,
而,
为HG的中点,
,
又 N点的横坐标为-1,且在上,可得N 的纵坐标为-k,同理P的纵坐标为,
平行于x轴，且N、D的横坐标分别为-1、1
与D关于y轴对称,
,
,