Question

【题目】如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点.

（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在□ABCD中， CD=AB=6，

所以点P与点C重合，

所以点P的坐标为（3,4）.

（2）

解：①当点P在边AD上时，

由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2，

设P（a,-2a-2），且-3≤a≤1，

若点P关于x轴对称点Q1（a,2a+2）在直线y=x-1上，

所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3,4）。

若点Ｐ关于y轴对称点Q2（-a,-2a-2）在直线y=x-1上，

所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1,0）.

②当点P在边AB上时，设P（a,-4）,且1≤a≤7，

若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，

所以4=a-1，解得a=5,此时P（5，-4）.

若点P关于y轴对称点Q4（-a,-4）在直线y=x-1上，

所以-4=-a-1，解得a=3,此时P（3，-4）.

综上所述，点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.

（3）

解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0,-2）.

①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4）,且-3≤m≤3,

则可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|，

易证得△OGM′~△HM′P，

则 ,

即 ，

则OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

解得m= 或 ，

则P（ ，4）或（ ，4）；

②如下图，当点P在AD边上时，设P（m,-2m-2）,

则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|,

易证得△OGM′~△HM′P，

则 ,

即 ，

则OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

整理得m= ,

则P（ ，3）；

如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），

此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，

所以GM=PM=4-2=2，

则P（2，-4）.

综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.

【解析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．