Question

【题目】小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（ ，0），E（2 ，0），F（ ，﹣ ）．

（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°得到△A1B1C1 ． 请你写出点A1 ， B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；
（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2 x2+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式；
（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A1（2﹣ ，1+ ），B1（2+ ，1+ ）．

A1C和DF的位置关系是平行

（2）

解：∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，

∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：

，

解得

∴y= x2﹣12x+ ；

②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：

，

解得

∴y= x2﹣11x+ ；

③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：

，

解得

∴y= x2﹣13x+

（3）

解：在旋转过程中，可能有以下情形：

①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示：

易求得点P坐标为（0， ）；

②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示：

设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2．

易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b，

联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2﹣x﹣b=0，

∴x1+x2=1，x1x2=﹣b．

∵B′C′=1，∴根据题意易得：|x1﹣x2|= ，

∴（x1﹣x2）2= ，即（x1+x2）2﹣4x1x2=

∴1+4b= ，解得b=- ．

∴x2﹣x+ =0，解得x= 或x= ．

∵点C′的横坐标较小，∴x= ．

当x= 时，y=x2= ，

∴P（ ， ）；

③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示：

设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．

易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y=﹣x+b，

联立y=x2与y=﹣x+b得：x2=﹣x+b，即x2+x﹣b=0，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣b．

∵C′A′=1，∴根据题意易得：|x1﹣x2|= ，

∴（x1﹣x2）2= ，即（x1+x2）2﹣4x1x2=

∴1+4b= ，解得b=- ．

∴x2+x+ =0，解得x= 或x= ．

∵点C′的横坐标较大，∴x= ．

当x= 时，y=x2= ，

∴P（ ， ）；

④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．

因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因此，与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；

⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：

与③同理，可求得：P（ ， ）；

⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示：

与②同理，可求得：P（ ， ）．

综上所述，点P的坐标为：（0， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）

【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解；（2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解；（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解．
【考点精析】本题主要考查了平移的性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．