Question

【题目】如图1所示，已知y= （x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．

（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2 ，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图2，连接OP．

S△PAB=S△PAO= xy= ×6=3

（2）

解：如图3，

∵四边形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，

∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，

∴BC=CQ= AQ，

∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，

在△ABQ和△ANQ中，

，

∴△ABQ≌△ANQ（SAS），

∴∠BAQ=∠NAQ=30°，

∴∠BAO=30°，

∵S菱形BQNC=2 = ×CQ×BN，

令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t× ）=2 t，

∴t=1

∴BQ=2，

∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，

∴AB= BQ=2 ，

∵∠BAO=30°

∴OA= AB=3，

又∵P点在反比例函数y= 的图象上，

∴P点坐标为（3，2）

（3）

解：∵OB=1，OA=3，

∴AB= ，

易得△AOB∽△DBA，

∴ ，

∴BD=3 ，

①如图3，当点Q在线段BD上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，

∴BC= AQ，

∵四边形BQNC是平行四边形，

∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，

∴ = ，

∴BQ=CN= BD= ，

∴AQ= =2 ，

∴C四边形BQNC=2 +2 ；

②如图4，当点Q在射线BD的延长线上，

∵AB⊥BD，C为AQ的中点，

∴BC=CQ= AQ，

∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，

∴△BND∽△QAD

∴ = ，

∴BQ=3BD=9 ，

∴AQ= = =2 ，

∴C四边形BNQC=2AQ=4 ．

【解析】（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=2 ，求出OA=3，于是P点坐标求出；（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．