Question

【题目】如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕直角顶点BB顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则PB：P′A的值为 ．

Answer 1

【答案】1：2
【解析】解：如图，连接AP， ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵ ，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′= PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，
根据勾股定理，PP′= = =2 x，
∴PP′= PB=2 x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故答案是：1：2．

【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和旋转的性质，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．