Question

【题目】我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A按逆时针方向旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

（1）特例感知：在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为______．

（2）精确作图：如图4，已知在四边形ABCD内部存在点P，使得△PDC是△PAB的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点P（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）

（3）猜想论证：在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）①，②4；（2）见解析；（3）AD=BC.

【解析】

（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；

（2）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点P；

（3）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．

解：（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，

∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，

∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，

∴AB′=AC′，

∴∠AB′D=30°，

∴AD=AB′，

∴AD=BC，

故答案为：；

②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，

在△AB′C′和△ABC中，

，

∴△AB′C′≌△ABC（SAS）

∴B′C′=BC=8，

∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，

∴AD=B′C′=4，

故答案为：4；

（2）如图4，作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P，

∴点P即为所作；

（3）AD=BC，

证明：如图1，延长AD到E，使得DE=AD，连接B′E、C′E，

∵AD是△AB′C’的中线，

∴B′D=C′D，

∵DE=AD，

∴四边形AB′EC′是平行四边形，

∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，

∵α+β=180°，

∴∠B′AC′+∠BAC=180°，

∴∠EB′A=∠BAC，

在△EB′A和△CAB中，

∴△EB′A≌△CAB（SAS），

∴AE=BC，

∴AD=BC．