Question

【题目】在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠PAB=α．

（1）依题意补全图1；

（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；

（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）

（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ABF=∠ADF．见解析；（3）DF=ED﹣BF．见解析；（4）BF=DE+DF．

【解析】

试题分析：（1）根据题目要求补全图形即可；

（2）连接AE．由轴对称图形的性质可知EA=AB，∠ABF=∠AEF，由菱形的定义可知AB=AD，从而得到AE=AD，由等腰三角形的性质可知∠AEF=∠ADF，于是得到∠ABF=∠ADF；

（3）由轴对称图形的性质可知EF=BF，然后由DF=ED﹣EF，可知DF=ED﹣BF；

（4）由轴对称图形的性质可知EF=BF，然后由EF=ED+DF，可知BF=DE+DF．

解：（1）如图1所示：

（2）∠ABF=∠ADF．

理由：如图2所示：连接AE．

∵点B与点E关于直线PA对称，

∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD．

∴AE=AD．

∴∠AEF=∠ADF．

∴∠ABF=∠ADF．

（3）DF=ED﹣BF．

理由：如图3所示：

∵点B与点E关于PA对称，

∴EF=BF．

又∵DF=ED﹣EF，

∴DF=ED﹣BF．

（4）BF=DE+DF．

理由：如图4所示：

∵点B与点E关于PA对称，

∴EF=BF．

又∵EF=ED+DF，

∴BF=DE+DF．