Question

【题目】（14分）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4,0）B（-4，-4），且与y轴交于点C．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点 P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2．（2）见解析（3）（-1，-）与（-3，-）．

【解析】

试题分析：（1）把点A（4，0）与B（-4，-4）代入y=-x2+bx+c，然后解方程组即可；（2）过B作BD⊥x轴于点D，通过证tan∠CAO= tan∠BAD可得∠BAO=∠CAO；（3）求出直线AB的解析式， 设P（x，x-2），（＜＜4），然后用x表示出点Q的坐标以及线段PH、QH的长，然后根据PH=2QH可得方程，解方程即可．

试题解析：解：（1）∵点A（4，0）与B（-4，-4）在二次函数图像上，

∴，解得，

∴二次函数解析式为y=-x2+x+2．

（2）过B作BD⊥x轴于点D，由（1）得C（0，2）

在Rt△AOC中，tan∠CAO===，

在Rt△ABD中，tan∠BAD= ==，

∵tan∠CAO= tan∠BAD ∴∠CAO=∠BAD

（3）由A（4，0）与B（-4，-4），可得直线AB的解析式为y=x-2，

设P（x，x-2），（＜＜4），则Q（x，-x2+x+2），

∴PH=|x-2|=2-x QH=|-x2+x+2|．

∴2-x =2|-x2+x+2|

当2-x =-x2+x+4， 解得 x1=-1，x2=4（舍去），∴P（-1，-）

当2-x =x2-x-4， 解得x1=-3，x2=4（舍去），∴P（-3，-）

综上所述，存在满足条件的点，它们是（-1，-）与（-3，-）．