Question

【题目】已知如图1，P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BE⊥AP于点E，在AP的延长线上取点F，使EF=AE，连接BF，∠CBF的平分线交AF于点G．

（1）求证：BF=BC；

（2）求证：△BEG是等腰直角三角形；

（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CG，当P点为BC的中点时，求CG的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；92）证明见解析；（3）

【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；

（2）想办法证明∠F=∠BAF=∠EBP，由∠EBG=∠EBP+∠PBG，∠EGB=∠F+∠GBF，即可解决问题；

（3）求出BG，只要证明△EBP≌△GCP，即可推出CG=BE，由此即可解决问题.

解：（1）证明：∵BE⊥AP，AE=EF，

∴BE垂直平分线段AF，

∴AB=BF，

在正方形ABCD中，AB=BC，

∴BF=BC；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBP=90°，

∵BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠EBP，

∵AB=BF∴∠BAP=∠BFP，

∴∠EBP=∠BFP，

∵∠CBF的平分线交AF于点G，

∴∠CBG=∠FBG，

∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG，

∴∠EBG=∠EGB，

∵BE⊥AF，

∴△BEG是等腰直角三角形．

（3）解：∵P是BC的中点，正方形的边长为4，

∴AB=4，BP=CP=2，

∵在Rt△ABP中，

∴AP=，

∵BE⊥AP，

∴S△ABP=，

解得：BE=，

∵AB=BC，AB=BF，

∴BC=BF，

由（1）可知∠CBG =∠FBG，

∴BG=BG，

∴△CBG≌△FBG，

∴∠BFP=∠BCG，

由（2）可知∠EBP=∠BFP，

∴∠EBP =∠BCG∵∠EPB =∠CPG，

∴△EBP≌△GCP，

∴CG=BE=．

“点睛”本题考查正方形到现在、全等三角形的判定和性质、相等的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.