Question

【题目】如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．

（1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，则∠ACB＝　 　；

（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由；

（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE位置关系．

Answer 1

【答案】（1）存在；45°或135°；（2）详见解析；（3）点P一直在以AB为直径的圆上，当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，

【解析】

（1）分两种情况讨论：①先根据垂直的定义可得：∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义得：∠ABC+∠BAC＝（∠ABO+∠BAO）＝45°，由三角形内角和定理可得结论；②根据三角形外角的性质和角平分线的定义，可得结论；

（2）证明∠OAD＝∠OEB，可得：AD∥BE；

（3）先根据∠AOB＝∠APB＝90°，证明O、A、P、B四点共圆，即点P一直在以AB为直径的圆上，通过画图可知：当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE．

解：（1）存在，

有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BAO+∠ABO＝90°，

∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，

∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，

∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；

②如下图，当CB平分∠ABN时，

∵∠ABN＝90°+∠BAO，

∵AC平分∠BAO，

∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，

∴∠ABE＝45°+∠CAB，

∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，

综上，∠ACB的度数为45°或135°；

故答案为：45°或135°；

（2）如图2，∵∠AOB＝∠P＝90°，

∴∠OAP+∠OBP＝180°，

∴∠OAP+∠OBP＝90°，

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，

∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，

∵∠OBE+∠OEB＝90°，

∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，

∴∠OAD＝∠OEB，

∴AD∥BE；

（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，

∴点P一直在以AB为直径的圆上，

当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，

当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，

理由是：∵∠OAP＝∠OBP，

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，

∴∠PAD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，

∴∠PAD＝∠DBE，

∵∠ADP＝∠BDG，

∴∠APB＝∠AGB，

∴AD⊥BE．