Question

【题目】如图，已知：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，∠ABC=60°，E为AD上一点，连接CE，AF∥CE且交BC于点F．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形．

（2）证明：△AFB≌△CE D．

（3）DE等于多少时，四边形AECF为菱形．

（4）DE等于多少时，四边形AECF为矩形．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DE=2;(4)DE=1.

【解析】

（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可得；

（2）根据ABCD为平行四边形，可得AB=CD， AD=BC，再根据AECF为平行四边形，可得AF=CE，AE=FC，继而可得DE=BF，根据SSS即可证明△AFB≌△CED；

（3）当DE=2时，AECF为菱形，理由：由AB=DC=2，∠ABC=∠EDC=60°可得△EDC为等边三角形，继而可得到AE=EC，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得；

（4）当DE=1时，AECF为矩形，理由：若AECF为矩形则有∠DEC=90°，再根据DC=2，∠D=60°，则可得∠DCE=30°，继而可得DE=1.

（1）∵为平行四边形，∴，即，

又∵(已知)，∴为平行四边形；

（2）∵为平行四边形，∴， ，

∵为平行四边形，∴，

∴，

在与中，

，

∴；

(3)当时，为菱形，理由如下：

∵，

∴为等边三角形，，，即：，

∴平行四边形为菱形；

（4）当时，为矩形，理由如下：

若为矩形得：，

∵，，

∴，∴.