Question

【题目】如图1，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图2.

(1)求证：四边形AB′C′D是菱形；

(2)求四边形ABC′D′的周长.

图1　　　　　　　图2

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）四边形ABC′D′的周长为4.

【解析】

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可。

（2）先判定四边形是菱形，再根据边长AB=,AD= ，即可得到四边形的周长为.

(1)证明：∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，

∴∠ADB＝60°.

由平移可得B′C′＝BC＝AD，∠D′B′C′＝∠DBC＝∠ADB＝60°.

∴AD∥B′C′.

∴四边形AB′C′D是平行四边形.

∵B′为BD中点，

∴Rt△ABD中，AB′＝BD＝DB′.

又∵∠ADB＝60°，

∴△ADB′是等边三角形.

∴AD＝AB′.

∴四边形AB′C′D是菱形.

(2)由平移可得，AB＝C′D′，∠ABD′＝∠C′D′B＝30°，

∴AB∥C′D′.

∴四边形ABC′D′是平行四边形.

由(1)可得，AC′⊥B′D，

∴四边形ABC′D′是菱形.

∵在Rt△DAB中，AB＝AD＝，

∴四边形ABC′D′的周长为4.