Question

【题目】当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积

Answer 1

【答案】

【解析】分析：由m+n=mn变式为 可知P(m,m1)，所以在直线y=x1上，点点A(0,5)在直线y=x+b上，求得直线AM:y=x+5，进而求得B(3,2)，根据直线平行的性质从而证得直线AM与直线y=x1垂直，然后根据勾股定理求得BC的长，从而求得三角形的面积．

详解：
∵m+n=mn且m，n是正实数，

∴,即

∴P(m,m1)，

即“完美点”B在直线y=x1上，

∵点A(0,5)在直线y=x+b上，

∴b=5，

∴直线AM:y=x+5，

∵“完美点”B在直线AM上，

∴由 解得

∴B(3,2)，

∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=x，而直线y=x1与直线y=x平行，直线y=x+5与直线y=x平行，

∴直线AM与直线y=x1垂直，

∵点B是直线y=x1与直线AM的交点，

∴垂足是点B，

∵点C是“完美点”，

∴点C在直线y=x1上，

∴△MBC是直角三角形，

∵B(3,2),A(0,5)，

∴

∵

∴

又∵ ，

∴BC=1，

∴

点睛:本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．