Question

【题目】在ABCD中，AB＝BC＝9，∠BCD＝120°．点M从点A出发沿射线AB方向移动．同时点N从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AN，CM，直线AN、CM相交于点P．

（1）如图甲，当点M、N分别在边AB、BC上时，

①求证：AN＝CM；

②连接MN，当△BMN是直角三角形时，求AM的值．

（2）当M、N分别在边AB、BC的延长线上时，在图乙中画出点P，并直接写出∠CPN的度数．

Answer 1

【答案】（1）①见解析②3或6（2）120°

【解析】

（1）①连接AC，先证△ABC是等边三角形得AB＝CA＝9、∠B＝∠CAB＝60°，由BN＝AM证△ABN≌△CAM即可得；

②分∠MNB＝90°和∠NMB＝90°两种情况，由∠B＝60°得出另一个锐角为30°，根据直角三角形中30°角所对边等于斜边的一半及AM＝BN求解可得；

（2）根据题意作出图形，连接AC，先证△BAN≌△ACM得∠N＝∠M，由∠NCP＝∠MCB知∠CPN＝∠CBM，根据AB∥CD、∠BCD＝120°可得∠CPN＝∠CBM＝120°．

（1）①如图1，连接AC，

在ABCD中，AB∥DC，

∴∠B＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，

又∵AB＝BC＝9，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝CA＝9，∠B＝∠CAB＝60°，

又∵BN＝AM，

∴△ABN≌△CAM（SAS），

∴AN＝CM；

②如图2，

（Ⅰ）当∠MNB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴∠BMN＝90°﹣60°＝30°，

∴BN＝BM，

又∵BN＝AM，

∴AM＝（9﹣AM），

∴AM＝3；

（Ⅱ）当∠NMB＝90°时，∠BNM＝90°﹣60°＝30°，

∴BM＝BN，

∴9﹣AM＝AM，

∴AM＝6；

综上所述，当△BMN是直角三角形时，AM的值为3或6；

（2）如图3所示，

点P即为所求；

∠CPN＝120°，

连接AC，

由（1）知△ABC是等边三角形，

∴∠BAN＝∠CAM＝60°、AB＝CA，

又∵BN＝AM，

∴△BAN≌△ACM（SAS），

∴∠N＝∠M，

∵∠NCP＝∠MCB，

∴∠CPN＝∠CBM，

∵AB∥CD，∠BCD＝120°，

∴∠CPN＝∠CBM＝120°．