Question

【题目】发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=100°，求∠BIC的度数；

拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠1+∠2=2∠A；理由见解析；（2）∠BIC=115°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2）．

【解析】

（1）根据翻折变换的性质、三角形内角和定理、以及平角的定义求出即可；

（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，在用三角形的内角和定理即可求出∠BIC的度数可；

（3）根据垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，再依据四边形AGHF的内角和为360°，表示出与的关系，运用对顶角等量代换，得到与的关系，再结合第（1）问，得到∠BHC与∠1+∠2的关系．

解：（1）∠1+∠2=2∠A；

理由：根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），

∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，

整理得2∠A=∠1+∠2；

（2）由（1）知：∠1+∠2=2∠A，

又∠1+∠2=100°，

∴∠A=50°

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°；

（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∴∠FHG+∠A=180°，

∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，

由（1）知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=（∠1+∠2），

∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．