Question

【题目】如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A，B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G.

(1)求证：AE＝CG；

(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE，CG的数量关系是否发生变化，请写出你的结论；

(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不变；（3）BE＝CM.

【解析】试题（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

（2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

（3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE=∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出结论；

解：（1）∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBF+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBF

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠A=∠BCD．

在△BCG和△ACE中

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴AE=CG；

（2）不变．AE=CG．

理由：∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBF+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBF

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠A=∠BCD．

在△BCG和△ACE中

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴AE=CG；

（3）BE=CM，

：∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵AH⊥CE，

∴∠AHC=90°，

∴∠HAC+∠ACE=90°，

∴∠BCE=∠HAC．

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠ACD=∠ABC．

在△BCE和△CAM中

，

∴△BCE≌△CAM（ASA），

∴BE=CM．