Question

【题目】如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交OG于点H．

（1）求证：∠DAE=∠DCG．
（2）求线段HE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，

∴DG=DE，DC=DA，∠ADE=∠GDC=90°

在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠DCG=∠DAE

（2）解：∵△GDC≌△EDA，AD=3，DE=1，

∴GC=AE= = ，

∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，

∴∠DCG+∠HEC=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC= AGDC= GCAH，

∴ ×4×3= × ×AH，

∴AH= ，

∴EH=AH﹣AE= ．

【解析】（1）利用正方形的性质可证出△GDC≌△EDA， 得出∠DCG=∠DAE；（2）利用面积法求出AH，运用勾股定理求出AE，AH﹣AE=EH即可.
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．