Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=70°，

∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°

（2）解：∵MN垂直平分AB，

∴DA=DB，

∵BC+BD+DC=20，

∴AD+DC+BC=20，

∴AC+BC=20，

∵AB=2AE=12，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．

【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．（2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．