Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD2=CACB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA= ，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴ = ，即CD2=CACB；

（2）解：证明：如图，连接OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1+∠2=90°．

又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD．

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（3）解：解：如图，连接OE．

∵EB、CD均为⊙O的切线，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA= ，

∴tan∠OEB= = ，

∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，

∴Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴ = = = ，

∴CD=8，

在Rt△CBE中，设BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，

解得x=5．

即BE的长为5．

【解析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明OD⊥CD即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和相似三角形的判定与性质，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．