Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．

（1）若∠PBA：∠PBC=1：2，判断△PBC的形状并说明；

（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）△PBC是等边三角形，（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据矩形得出∠ABC=90°，求出∠OBC=60°，根据折叠得出PC=BC，根据等边三角形的判定得出即可；

（2）根据折叠得出BE=PE，求出∠1=∠2，求出AE=PE，推出∠3=∠4，根据三角形内角和定理求出∠2+∠3=90°，求出AF∥CE，根据平行四边形的判定得出即可．

试题解析：（1）△PBC是等边三角形，

理由是：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

∵∠PBA：∠PBC=1：2，

∴∠OBC=60°，

∵沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，

∴PC=BC，

∴△PBC是等边三角形；

（2）

∵根据折叠得出△EBC≌△EPC，

∴BE=PE，

∴∠1=∠2，

∵E为AB的中点，

∴BE=AE，

∴AE=PE，

∴∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴BP⊥AF，

∵对折矩形ABCD，

∴BP⊥CE，

∴AF∥CE，

∵根据矩形ABCD得：AE∥CF，

∴四边形AECF为平行四边形．