Question

【题目】如图，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．

（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小；

（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周长．

Answer 1

【答案】（1）∠B=20°；（2）△AEB的周长=11.25．

【解析】

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠B=∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可；

（2）利用勾股定理列式求出BC=4，设AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．

解：（1）∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠B=∠BAE，

∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，

在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，

解得∠B=20°；

（2）由勾股定理得，=4，

设AE=BE=x，则CE=4﹣x，

在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，

即32+（4﹣x）2=x2，

解得x=，

∴△AEB的周长=×2+5=11.25．