Question

【题目】如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．

（1）求证：DE∥CF；

（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；

（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）或4（3）3

【解析】

试题分析：（1）先作辅助线，连接OF，证明四边形OBCF是平行四边形，得出DE∥CF；

（2）利用相似比求OB的长，

（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离．

（1）证明：连接OF，

∵AB切半圆O于点F，OF是半径，

∴∠OFB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠OFB=∠ABC，

∴OF∥BC，

∵BC=OE，OE=OF，

∴BC=OF，

∴四边形OBCF是平行四边形，

∴DE∥CF；

（2）解：若△OBF∽△ACB，

∴=，

∴OB=，

∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，

∴AC=4，AB=2．

又∵OF=OE=2，

∴OB==；

若△BOF∽△ACB，

∴=，

∴OB=，

∴OB==4；

综上，OB=或4；

（3）解：画出移动过程中的两个极值图，

由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，

∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，

∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．