Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：

设点P，Q是图形W上的任意两点.若的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度=m；若的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度=n，如下图，图形W在x轴上的投影长度==2;在y轴上的投影长度==4.

（1）已知点A(3，3)，B(4，1).如图1所示，若图形W为△OAB，则=___________ =___________

（2）已知点C(4，0)，点D在直线y=-2x+6上，若图形W为△OCD.当=时，求点D的坐标.

（3）如图2所示，已知点A(3，0)，B(0，4)，将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD，BD.若图形W为点O.A.C.D.B围成的多边形图象，且∠DOA=∠OBA，直接写出的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）点D的坐标为（1，4）或（6，-6），（3）或

【解析】

（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；

（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，-2x+6），则PD=|-2x+6|．PC=|4-x|，然后依据，列方程求解即可．

（3）分情况讨论，当D在第一象限时，由旋转的性质结合∠DOA=∠OBA，证明三点共线，过C作CFOB于F，过C作CGOA于G，设 利用勾股定理列出方程组即可得到答案．当D在第四象限时，过D作DFOB于F，过D作DGOA于G，则四边形为矩形，设 建立方程组求解即可．

解：（1）∵A（3，3），

∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．

∴△OAB在y轴上的投影长度．

∵B（4，1），

∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．

∴△OAB在x轴上的投影长度．

故答案为：4，3．

（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．

0≤x≤3时，-2x+6=4， 解得x=1．

∴D（1，4）．

如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．

当3＜x≤4时，

所以2x-6=4，

解得：x=5（舍去），

如图3所示，当点D在C点右侧，x＞4时，

x=2x-6， 可得x=6 ，

点D坐标（6，-6），

如图4所示：当 x＜0时，-2x+6=4-x，

解得：x=2 舍去，

综上所述，点D的坐标为（1，4）或（6，-6）．

（3）如图，当D在第一象限时，

∠DOA=∠OBA，

由旋转可知：

是的垂直平分线，

三点共线，

过C作CFOB于F，过C作CGOA于G，

则四边形为矩形，

设

由勾股定理得：

消去得：

（舍去）

如下图，当点C旋转到轴的负半轴上，D在第四象限时，

同理可得：是的垂直平分线，

过D作DFOB于F，过D作DGOA于G，

则四边形为矩形，

设

同理可得：

消去得：

（舍去）

此时：

综上：或