Question

【题目】（本题满分10分）

问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．

（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；

（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．

（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．

（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．

Answer 1

【答案】(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．

【解析】

试题分析：（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决问题；

（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy= xy=12；

（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．

（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；

试题解析：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，

∵DE∥BC，∠EDF=60°，

∴∠BND=∠EDF=60°，

∴∠BDN=∠ADM=60°，

∴△ADM，△BDN都是等边三角形，

∴S1=22=，S2=（4）2=4，

∴S1S2=12，

（2）如图2中，设AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴，

∴，

∴xy=8，

∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，

∴S1S2=xy=xy=12．

（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．

Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．