Question

【题目】如图，直线y= x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣ x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC⊥x轴，垂足为点C，C（3，0），

∴B的横坐标为3．

将x=3代入y= x+1得：y= ．

∴B（3， ）．

将x=0代入y= x+1得：y=1．

∴A（0，1）．

将点A和点B的坐标代入得： ，解得：b= ，c=1．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：设点P的坐标为（t，0），则N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1）．

∴S=（﹣ t2+ t+1）﹣（ t+1）=﹣ t2+ t．（0＜t＜3）．

（3）

解：∵MN∥BC，

∴当MN=NB时，四边形BCMN为平行四边形．

∴﹣ t2+ t= ，解得t=1或t=2．

∴当t=1或t=2时，四边形BCMN为平行四边形．

当t=1时，M（1， ）．

依据两点间的距离公式可知：MC= = ．

∴MN=MC．

∴四边形BCMN为菱形．

当t=2时，M（2，2），则MC= = ．

∴MC≠MN．

∴此时四边形BCMN不是菱形．

综上所述，当t=1时，四边形BCMN为菱形

【解析】（1）先求得点B和点A的坐标，然后将原点坐标，点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）设点P的坐标为（t，0），则N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1），然后依据MN等于M、N两点的纵坐标之差可得到S与t的函数关系式；（3）已知MN∥BC，故此当MN=NB时，四边形BCMN为平行四边形，然后列出方程组求解即可；当MC=MN时，四边形BCMN为菱形，然后分别将t=1和t=2代入求得点M的坐标，然后再求得MC的长，最后依据MC于是等于MN进行判断即可．