Question

【题目】在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．

（1）如图1，①∠BEC=_________°；

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．

图1 图2

Answer 1

【答案】45

【解析】

（1）根据矩形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可；

（2）利用定理证明；

（3）连接，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出即可.

（1）①∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC=45°，

∴∠BEC=45°，

故答案为：45；

②△ADE≌△ECF，

理由如下：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．

∵FE⊥AE，

∴∠AEF=90°．

∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．

∵∠AED+∠DAE=90°，

∴∠FEC=∠EAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠BEC=45°．

∴∠EBC=∠BEC．

∴BC=EC．

∴AD=EC．

在△ADE和△ECF中，

∴△ADE≌△ECF；

（2）连接HB，如图2，

∵FH∥CD，

∴∠HFC=180°-∠C=90°．

∴四边形HFCD是矩形．

∴DH=CF，

∵△ADE≌△ECF，

∴DE=CF．

∴DH=DE．

∴∠DHE=∠DEH=45°．

∵∠BEC=45°，

∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．

∵NH∥BE，NB∥HE，

∴四边形NBEH是平行四边形．

∴四边形NBEH是矩形．

∴NE=BH．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAH=90°．

∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，