Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°； ③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确，根据直角三角形的性质得出AD=2CD，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而可得④正确．

解：由题意可知AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC= 30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；
∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD．
∵点D在AB的中垂线上，
∴AD=BD，

∵∠DAC= 30°，∠C=90°，
∴AD=2CD，BC=3CD
∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确．
故选：D．