Question

【题目】在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．

（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标．

（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系（直接写出结论，不需要证明）

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AF；（3）OC=OB+AF.

【解析】试题分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．

（2）先说明BD与AE有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系；

（3）先猜想OC、AF、OB之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可．

试题解析：(1)∵点C坐标是(1,0),点A的坐标是(3,1)

∴AD=OC，

在Rt△ADC和Rt△COB中， ，

∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL)，

∴OB=CD=2，

∴点B的坐标是(0，2)；

(2)BD=2AF，

理由：作AE的延长线交BC的延长线于点F，如下图所示，

∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，AE⊥y轴于E，

∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，

∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∵∠BDC=∠ADE，

∴∠DBC=∠FAC，

在△BDC和△AFC中，

，

∴△BDC≌△AFC(ASA)

∴BD=AF，

∵BE⊥AE，y轴恰好平分∠ABC，

∴AF=2AE，

∴BD=2AF；

(3)OC=OB+AF，

证明：作AE⊥OC于点E，如下图所示，

∵AE⊥OC，AF⊥y轴，

∴四边形OFAE是矩形，∠AEC=90°，

∴AF=OE，

∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，∠BOC=90°，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，

∴∠CBO=∠ACE，

在△BOC和△CEO中，

，

∴△BOC≌△CEO(AAS)

∴OB=CE，

∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，

∴OC=OB+AF.