Question

【题目】如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】.

【解析】

试题分析：（1）如图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴四边形OECF为矩形.∵OE=OF，∴矩形OECF为正方形.设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r.∴3﹣r+4+r=5，∴S1=π×12=π； （2）图2，由S△ABC=，∴CD=.

在Rt△ACD中：，∴ .由（1）得：⊙O的半径为 ，⊙E的半径为.∴.

（3）图3，由S△CDB=，∴.∴ ，.由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径=，：⊙F的半径=.∴S1+S2+S3=π.同理可得S1+S2+S3+S4=.则S1+S2+S3+…+S10=π.