Question

【题目】（8分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，

(1)求y与x之间的函数关系

(2)x为何值时重叠部分的面积最大

Answer 1

【答案】（1） （2）2

【解析】试题分析：（1）分类讨论：当0<x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1<x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2；

（2）当0<x≤1时，y=x2，的最大值是1，当1<x≤2时，y=-（x-2）2+2的最大值是2，综合得当x=2时，y有最大值为2.

试题解析：（1）当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，

CD=x，则AD=2﹣x，

∵Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴△ADM为等腰直角三角形，

∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，

∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，

∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，

∴；

（2），

当0<x≤1时，y=x2，的最大值是1，当1<x≤2时，y=-（x-2）2+2的最大值是2，综合得当x=2时，y有最大值为2.