Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，

∴BE⊥AC，AE= AB=1，

∴BE= ，

∴△ABC的面积= ×AC×BE= ；

（2）

解：如图2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGE是等边三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF；

（3）

解：如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AHE是等边三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF．

【解析】（1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积；（2）作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；（3）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半即可以解答此题．