Question

【题目】如图，

（1）如果，AC垂直平分BD．那么，CA平分∠BAD吗？CA平分∠BCD吗？

（2）如果，CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD．那么，AC垂直平分BD．

Answer 1

【答案】（1）CA平分∠BAD，CA平分∠BCD；（2）AC垂直平分BD

【解析】（1）CA平分∠BAD，CA平分∠BCD

因为，AC垂直平分BD

所以，AB=AC，CB=CD

（线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离相等）

又因为，AC=AC

所以，在△ABC和△ADC中

所以，△ABC≌△ADC（SSS）

所以，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA（全等三角形的对应角相等）

所以，CA平分∠BAD，CA平分∠BCD

（2）因为，CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD

所以，CB=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

又因为，∠ABC=∠ADC=90°（垂直定义）而∠BAC=∠DAC

所以，在△ABC和△ADC中

所以，△ABC≌△ADC（AAS）

所以，AB=AD（全等三角形的对应边相等）

所以，△ABD是等腰三角形

因此，AC垂直平分BD（等角三角形顶角的平分线是底边上高，也是底边上的中线）