Question

【题目】如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，

得 ，解得 ，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+4；

（2）

解：过D点作DG⊥y轴，垂足为G，

∵OA=OB=4，

∴△OAB为等腰直角三角形，

又∵AD⊥AB，

∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，

∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=6﹣4=2，

∴D（2，6）；

（3）

解：存在．

由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），

将D（2，6）代入，得a=﹣ ，所以，抛物线解析式为y=﹣ x（x﹣4），

由（2）可知，∠PBF=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），

设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，

①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，

过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，

则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，

将E（x，x）代入抛物线y=﹣ x（x﹣4）中，得x=﹣ x（x﹣4），解得x=0或 ，即P（ ，0），

②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，

则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=﹣ x（x﹣4）中，得2=﹣ x（x﹣4），

解得x= 或 ，即P（ ，0），

所以，P（ ，0）或（ ，0）．

【解析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式；（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=6﹣4=2，可求D点坐标；（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．