Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交半圆O于点E,且AB=4，则圆中阴影部分的面积为_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：

由CD为半圆M的切线，得到DC⊥MD，再由M为OA中点，C为OB中点，得到AM=MO=OC=BC=1，在Rt△DMC中，由DM=MO=OC=MC可得∠DCM=30°，则∠DMC=60°结合AM=DM，可得∠MAD=∠OEA=30°，在Rt△AOD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AE的长，同理求出DF与AC的长，确定出∠EOB的度数，最后由S阴影=S△AOE+S扇形OEB-S△ACD，求出即可．

详解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F，

∵CD与半圆M相切，

∴CD⊥MD，

∵AB=4，O为AB的中点，M、C分别为AO、BO的中点，

∴AM=OM=OC=CB=1，

∵在Rt△MDC中，DM=MO=OC=MC，

∴∠DCM=30°，

∴∠DMC=60°，

∵AM=DM，

∴∠MAD=∠MDA=30°，

∵OA=OE，

∴∠E=∠A=30°，

∴∠EOB=∠E+∠A=60°，OD=OA=1，

∴AD=，

又∵OD⊥AE，

∴AE=2AD=，DF=AD=，

∴AF=，

∴AC=2AF=3，

∴S阴影=S△AOE+S扇形BOE-S△ACD

=AE·OD+-AC·DF

=+-

=.

故答案为：.