Question

【题目】在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是( )

A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：

（1）由轴对称的性质易得AB′=AB，结合AB=AD即可得到AB′=AD；

（2）连接B′E，易得BE=B′E=CE，由此易得∠BB′C=90°，由EF是△BB′C的中位线可得B′C=2EF，再证△B′EF∽△AB′F，可得，由此可得FB′=2FE，从而可得B′C=FB′，由此可得△FCB′为等腰直角三角形；

（3）假设∠ADB′=75°成立，则可得∠AB′D=75°，由此可得∠ABB′=∠AB′B=60°，从而可得B′B=AB=BC，这与Rt△BB′C中B′B＜BC矛盾，由此可得假设错误；

（4）由题意易得∠AB′D=∠ADB′，∠AB′B=∠ABB′，结合∠BAD=90°和四边形内角和为360°易得∠DB′B=135°，这样结合∠BB′C=90°可得∠DB′C=135°；

综上即可得到题中4个结论里正确的结论是①②④.

详解：

①∵点B′与点B关于AE对称，

∴△ABF与△AB′F关于AE对称，

∴AB=AB′，

∵AB=AD，

∴AB′=AD．故本选项正确；

②如图，连接EB′．

由题意可得：BE=B′E=EC，

∴∠FBE=∠FB′E，∠EB′C=∠ECB′，

∴∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，

∴△BB′C为直角三角形．

∵FE为△BCB′的中位线，

∴B′C=2FE，

∵△B′EF∽△AB′F，

∴，即，

∴FB′=2FE，

∴B′C=FB′，

∴△FCB′为等腰直角三角形．

故本选项正确．

③假设∠ADB′=75°成立，

则∠AB′D=75°，

∴∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，

∴△ABB′为等边三角形，

∴B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾，

故本选项错误．

④设∠ABB′=∠AB′B=x度，∠AB′D=∠ADB′=y度，

则在四边形ABB′D中，2x+2y+90=360，

∴x+y=135度．

又∵∠FB′C=90°，

∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．

故本选项正确．

故选B．