Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．

（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OGBD=AE2+CF2．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3），（5）．

【解析】

试题分析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故正确；

（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；

（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；

（4）过点O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣＜0，

∴当x=时，S△BEF+S△COF最大；

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；故错误；

（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

∴△OEG∽△OBE，

∴OE：OB=OG：OE，

∴OGOB=OE2，

∵OB=BD，OE=EF，

∴OGBD=EF2，

∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

∴EF2=AE2+CF2，

∴OGBD=AE2+CF2．故正确．