Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F.

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）① 当AE= 时，四边形CEDF是矩形；

② 当AE= 时，四边形CEDF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5，2

【解析】试题分析: （1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可;

试题解析:

证明：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD=∠GCD，

又∠CGF=∠EGD．

G是CD的中点，

CG=DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG=EG，

∵CG=DG，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，如图所示:

∵∠B=60°，AB=3，

∴BM=1.5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，

∵AE=3.5，

∴DE=1.5=BM，

在△MBA和△EDC中，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED=∠AMB=90°，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是矩形，

故当AE=3.5时，四边形CEDF是矩形;

②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，

理由是：∵AD=5，AE=2，

∴DE=3，

∵CD=3，∠CDE=60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE=DE，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是菱形，

故当AE=2时，四边形CEDF是矩形;