Question

【题目】在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作ECFG.

(1)如图1，证明ECFG为菱形；

(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数：

(3)如图3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，求DM的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BDG=60°；（3）DM=5

【解析】

（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；

（3）连接BM，MC，结合题意，根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=∠DAF，则BE=AB=DC，因为M为EF中点，所以∠CEM=∠ECM=45°，故∠BEM=∠DCM=135°，根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC，则由全等三角形的性质可得MB=MD，∠DMC=∠BME.结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10，故DM=5.

(1)证明：

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC,AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴四边形ECFG为菱形；

(2)结论：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC，

∵∠ABC=120°，

∴∠BCD=60°,∠BCF=120°

由(1)知，四边形CEGF是菱形，

∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°，

∴CG=GE=CE,∠DCG=120°，

∵EG∥DF，

∴∠BEG=120°=∠DCG，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD，

∴△BEG≌△DCG(SAS)，

∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，

∴∠BGD=∠CGE，

∵CG=GE=CE，

∴△CEG是等边三角形，

∴∠CGE=60°，

∴∠BGD=60°，

∵BG=DG，

∴△BDG是等边三角形，

∴∠BDG=60°；

(3)如图2中，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，

又由(1)可知四边形ECFG为菱形，

∠ECF=90°，

∴四边形ECFG为正方形.

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M为EF中点，

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵BE=CD,∠BEM=∠DCM，EM=CM,

∴△BME≌△DMC(SAS)，

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形.

∵AB=6，AD=8，则BD==10，∴DM=5.