Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

(1)求m的值及抛物线的函数表达式；
(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），
∴0=+m，解得m=，
∴直线解析式为y=x+，C（0，）．
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
∵抛物线经过C（0，），
∴=a3（-5），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2+x+；
（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，

连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC解析式为y=x+，
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．
(3) （3）存在 设Q(x, x2+x+)
①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2
②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2
∴Q的横坐标为5.2 ，7.2
(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
则直线的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=x2+x+，
联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．
∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．
根据两点间距离公式得到：==
∴==4（1+k2）．
又==
；
同理
∴=
=
=4（1+k2）．
∴M1PM2P=M1M2 ，
∴=1为定值．
【解析】
（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；
（3）存在， 设Q(x,x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2，②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2从而求出Q点坐标.
（4）利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值．