Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 ， 旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1 ， AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1 ．
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1 ． 判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1 ， 设AC1=kBD1 ． 请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】
（1）

①证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

②AC1⊥BD1；

（2）

解：AC1⊥BD1．

理由如下：如图2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，

∴ ，

∴△AOC1∽△BOD1，

∴∠OAC1=∠OBD1，

又∵∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，

∴∠APB=90°

∴AC1⊥BD1；

∵△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = = ，

∴k= ；

（3）

解：如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = ，

∴k= ；

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，

∴OD1=OD，

而OD=OB，

∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1为直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12=BD2=100，

∴（2AC1）2+DD12=100，

∴AC12+（kDD1）2=25．

【解析】（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， 则OC1=OD1 ， 利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1 ， 然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°所以AC1⊥BD1；（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1 ， 则OC1=OA，OD1=OB，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1 ， 加上 ，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1 ， 得到∠OAC1=∠OBD1 ， 由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到 = = = ，所以k= ；（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1 ， 则 = = = ，所以k= ；根据旋转的性质得OD1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25．