Question

【题目】如图，菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ， 且AC=6cm，BD=8cm，动点P ， Q分别从点B ， D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP ， AQ ， PQ ． 设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=cm，AB与CD之间的距离为cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer 1

【答案】
（1）5；
（2）解：设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ= ，cosθ= ．

①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PCcosθ= （5﹣x）．

∴y=S△APQ= QAPH= ×3× （5﹣x）=﹣ x+6；

②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PDsinθ= （10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

= ACBD﹣ BQOA﹣（ BDOC﹣ QDPH）﹣ PD×h

= ×6×8﹣ （9﹣x）×3﹣[ ×8×3﹣ （x﹣1） （10﹣x）]﹣ （10﹣x）×

=﹣ x2+ x﹣ ；

③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

y=S△APQ= AB×h= ×5× =12．

综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：

y=

（3）解：有两种情况：

①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．

此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴ ，

即 ，

∴x= ；

②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．

此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴ ，

即 ，

∴x= ．

综上所述，满足条件的x的值为 或 ．

【解析】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm， ∴AC⊥BD，
∴AB= = =5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S= ABh，
又∵△ABC的面积S= S菱形ABCD= × ACBD= ×6×8=12，
∴ ABh=12，
∴h= = ．
（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示；②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．