Question

【题目】如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，

（1）求证：QP∥AR；

（2）AR、AS相等吗？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）相等，理由见解析.

【解析】

（1）易证RT△APR≌RT△APS，可得∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AR;

(2) 根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可推出AS=AR.

解：(1)如图，

在RT△APR和RT△APS中，

，

∴RT△APR≌RT△APS（HL），

∴∠BAP=∠1，

∵AQ=PQ，

∴∠1=∠2，

∴∠BAP=∠2，

∴QP∥AR.

(2)AR=AS,理由如下:

∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，

∴∠ARP=∠ASP=90°，

在Rt△APR和Rt△APS中，

，

∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），

∴AS=AR.